Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да б) нет в) 11
а) Пусть число N = 100a + 10b + c, где а,b,c — число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать натуральные значения от 0 до 9 (только a не может быть равно 0).
Предположим, что
Пусть 8a = b, откуда, так как a, b — цифры, то а = 1 и b = 8. Тогда 10(8a — b) = 0, следовательно, 19c = 0, откуда c = 0. Таким образом, получили число 180.
Проверкой убеждаемся, что действительно 180 : (1 + 8 + 0) = 20.
Ответ: да.
б) Предположим, что
Следовательно, N делится на 81, следовательно, его можно представить в виде N = 81 * к, где к -некоторое натуральное число и k = a + b + c. Заметим, что так как N — трехзначное число, то 81 * к <= 999, откуда к <= 12.
Из того, что N делится на 81, можно сделать вывод, что N делится на 9. Следовательно, сумма его цифр должна делиться на 9. Но так как сумма его цифр равна k, а k < 12, то k = 9. Следовательно, N = 9 * 81 = 729. Но у числа 729 сумма цифр не равна 9, следовательно, 729 не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.
в) Рассмотрим
Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем 198. Сумма его цифр равна 18 и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем 11.
Докажем, что 11 — наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.
Предположим противное. Пусть частное от деления N = 100a + 10b + сc на a + b + c равно k, оде к <= 10 натуральное число, тогда:
Так как число сотен не может быть равно нулю, то а >= 1. Так как к <= 10, то 100 — k >= 90, следовательно, (100 — k) * a >= 90. Так как b >= 0, то (10 — k) * b >= 0, следовательно, вся левая часть равенства >= 90.
Так как число единиц не может быть больше 9, то есть c <= 9, и (k - 1) <= 9, то (k-1) * c <= 9 * 9 = 81.
Следовательно, в нашем равенстве левая часть >= 90, а правая <= 81. Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и 11 — наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.