Множество чисел назовём отличным, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {300; 301; 302;.. .399} отличным?
б) Является ли множество {3; 9; 2 7 ;… З100} отличным?
в) Сколько отличных четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 4; 5; 7; 8; 10; 17}.
а) Разобьём множество {300; 301; 302; . . . 399} на 50 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 699: {300; 399}, {301; 398}, . . . .
Множество {300; 301; 302; . . . 399} можно разбить на два подмножества, в каждом из которых по 25 таких пар. Значит, сумма в этих двух подмножествах одинакова и множество {300; 301; 302; . . . 399} является отличным.
б) Заметим, что 3100 > (3100 − 1) / 2 = 399 + 398 + . . . + 9 + 3 + 1. Поэтому сумма чисел в подмножестве множества {3; 9; 27; . . . 3100}, содержащем 3100 , всегда больше суммы остальных чисел, следовательно, множество {3; 9; 27; . . . 3100} не является отличным.
в) Заметим, что четырёхэлементное множество является отличным в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.
Подмножества множества {1; 4; 5; 7; 8; 10; 17}, удовлетворяющие первому случаю, — это {1; 4; 5; 10}, {4; 5; 8; 17}.
Рассмотрим второй случай. Заметим, что сумма всех чисел отличного подмножества чётна. В исходном множестве три чётных (4, 8, 10) и четыре нечётных (1, 5, 7, 17) числа. Возможны случаи: чётное + чётное (Ч + Ч) = нечётное + нечётное (Н + Н), Н + Н = Н + Н, и Ч + Н = Ч + Н.
1) Ч + Ч = Н + Н. Переберём суммы чётных чисел.
4 + 8 = 5 + 7, {4; 5; 7; 8};
10 + 8 = 1 + 17, {1; 8; 10; 17};
4 + 10 = ? — Нет подходящих решений.
2) Н + Н = Н + Н.
17 + 1 > 5 + 7. — Нет подходящих решений.
3) Ч + Н = Ч + Н. Разность чётных чисел равна разности нечётных.
4 + 5 = 8 + 1, {1; 4; 5; 8};
4 + 7 = 10 + 1, {1; 4; 7; 10};
8 + 7 = 10 + 5, {5; 7; 8; 10}.
Всего получилось 7 отличных подмножеств.
Ответ: а) да; б) нет; в) 7.