Ha доске написан упорядоченный набор из семи различных натуральных чисел.
Среднее арифметическое первых четырех и среднее арифметическое последних
четырех чисел равно 12.
А) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 12?
Б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 8?
В) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее
арифметическое всех чисел.
А) Ответ: да, например: {10; 11; 15; 12; 9; 13; 14}. Обозначим среднее число через a4, а сумму всех чисел – через S. Суммы первых четырех и последних четырех чисел равны по 48, поэтому S = 2 * 48 — a4 = 96 — a4 => 7 * 12 = 84 = 96 — a4 . Значит, a4 = 96 — 84 = 12. Остается образовать две тройки различных чисел с суммами по 48 — 12 = 36.
Б) Ответ: нет. Если среднее арифметическое всех чисел равно 8, то S = 7 * 8 = 56 => a4 = 96 — 56 = 40. Значит, сумма шести оставшихся чисел (без a4 ) равна 56 — 40 = 16, что невозможно, так как наименьшее значение суммы
шести различных натуральных чисел равно 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
В) Ответ: 95/7; 59/7
В.1. Чтобы сумма S = 96 — a4 была наибольшей, возьмем a4 = 1 и образуем две тройки с суммами по 47. Пример: {8; 19; 20; 1; 14; 16; 17}, S = 95.
В.2. Чтобы сумма S = 96 — a4 была наименьшей, сумма чисел первой и последней троек 96 — 2a4 (четное число) также должна быть наименьшей. Сумма шести наименьших натуральных чисел 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 – число
нечетное, поэтому возьмем числа с суммой 22 и образуем две тройки с суммами 11:
1 + 3 + 7 = 2 + 4 + 5 => a4 = 48 — 11 = 37
S = 37 + 22 = 59
Пример: {1; 3; 7; 37; 2; 4; 5}.