На доске записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И , 12, 13, 14, 15, 16,17,18. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 27 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных четырёх ходов.
б) Можно ли сделать 6 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
а) Пример последовательных четырёх ходов. (1; 5; 9); (2, 6, 10); (3, 7, 11); (4, 8, 12).
б) Пусть сделано 6 ходов, стёрли 6 · 3 = 18 чисел, то есть стёрли все числа. Сумма чисел 1, 2, 3, . . . , 18 равна (1 + 18)/2 · 18 = 171. Каждая из сумм стираемых чисел меньше 27, значит, сумма всех стёртых за 6 ходов чисел меньше 27 · 6 = 162, 162 < 171. Нельзя сделать 6 ходов.
в) Пусть можно сделать 5 ходов. Тогда сумма стёртых за 5 ходов чисел не меньше 1 + 2 + 3 + . . . + 15 = (1 + 15)/2 · 15 = 120. С другой стороны, эта сумма не больше суммы 5 различных натуральных чисел, меньших 27, то есть 26 + 25 + 24 + 23 + 22 = 120. Значит, можно сделать 5 ходов. Пример последовательных пяти ходов (стёрты тройки чисел): (15, 10, 1); (14, 9, 2); (13, 8, 3); (12, 7, 4), (11; 6; 5).
Ответ: а) (1; 5; 9); (2, 6, 10); (3, 7, 11); (4, 8, 12); б) нет; в) 5