В трапеции KLMN боковая сторона KL перпендикулярна основаниям. Из точки К на сторону МN опустили перпендикуляр КА. На стороне KL отмечена точка В так, что прямые LA и BN параллельны.
а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны.
б) Найдите отношение LA : BN , если угол LMN равен 150°.
а) Для доказательства перпендикулярности прямых BM и MN достаточно доказать, что BM || KA, а это выполняется в случае, если подобны треугольники SBM и SKA, то есть если справедливо равенство SB/SK = SM/SA .
Пусть ∠SML = α, тогда ∠SKA = ∠ANK = α. Из параллельности прямых LA и BN следует, что треугольники SLA и SBN подобны, значит, верно равенство SL/SB = SA/SN .
В прямоугольном треугольнике SLM SL/SM = sin α, откуда SM = SL/sin α.
В прямоугольном треугольнике SAK SA/SK = sin α,
В прямоугольном треугольнике SKN SK/SN = sin α. SK = SN * sin α.
Перемножая почленно равенства SA/SK = sin α и SK/SN = sin α, получим: SA/SN = sin2 α, SA = SN sin2 α. Учитывая, что SA/SN = SL/SB , имеем SL/SB = sin2 α, откуда SB = SL/sin2 α .
Тогда SB/SK = SL / (sin2 α · SN · sin α) = SL / (sin3 α · SN) , SM/SA = SL / (sin α · SN sin2 α) = SL / (sin3 α · SN). Правые части равенств равны, следовательно, SB/SK = SM/SA , значит, прямые LA и BN параллельны, и BM и MN перпендикулярны.
б) В силу подобия треугольников SML и SKN LA/BN = SL/SB. Как показано в пункте а), SL/SB = sin2 α.
По условию ∠LMN = 150◦ , ∠LMN + α = 180◦ , α = 180◦ − 150◦ = 30◦ . SL/SB = sin2 α = sin2 30◦ = 1/4.
Ответ: б) 1/4.