На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому: 4k – 8l + 0·m = –3(k + l + m).
а) Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m – количество целых чисел – делится на 4. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, на доске написано 44 числа.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.