а) Решите уравнение $9·3^{2 cos x} — 10√3·3^{cos x} + 3 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};4π]$.
а) После замены $t = 3^{cosx}$ исходное уравнение примет вид $9t^2 — 10√3t + 3 = 0$. Корни этого уравнения $t = √3; t = {√3}/{9}$. Возвращаясь к переменной $x$, получим
$[table3^{cosx}=√3; 3^{cosx}={√3}/{9};$ $[table3^{cosx}=3^{{1}/{2}}; 3^{cosx}=3^{-{3}/{2}};$ $[tablecosx={1}/{2}; cosx=-{3}/{2};$
Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим $x =±{π}/{3} + 2πn; n ∈ Z$.
б) Запишем решение уравнения в виде $x =-{π}/{3} + 2πn; n ∈ Z$ или $x ={π}/{3} + 2πk; k ∈ Z$ и выясним, для каких целых значений $n$ и $k$ справедливы неравенства ${3π}/{2}≤-{π}/{3}+2πn≤4π$ и ${3π}/{2}≤{π}/{3}+2πk≤4π$.
Получим ${11}/{12} ≤ n ≤ {26}/{12}$ и ${7}/{12} ≤ k ≤{22}/{12}$.
Откуда следует, что два целых значения $n = 1$ и $n = 2$ удовлетворяют неравенству ${11}/{12} ≤ n ≤ {26}/{12}; k = 1$ — единственное целое $k$, удовлетворяющее неравенству ${7}/{12} ≤ k ≤{22}/{12}$.
При $n = 1$ $x = -{π}/{3} + 2π·1 = {5π}/{3}$.
При $n = 2$ $x = -{π}/{3} + 2π·2 = {11π}/{3}$.
При $k = 1$ $x = {π}/{3} + 2π·1 = {7π}/{3}$. Итак, ${5π}/{3}; {7π}/{3}; {11π}/{3}$ — корни уравнения, принадлежащие промежутку $[{3π}/{2};4π]$.
Ответ: а)$x=±{π}/{3}+2πn,n∈Z$;б)${5π}/{3};{7π}/{3};{11π}/{3}$