Перейти к содержанию

Решите уравнение sin2xsin(π−x)=√2

а) Решите уравнение ${sin 2x}/{sin(π — x)}= √2$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{5π}/{2};-π)$.


а)${sin2x}/{sin(π — x)}=√2$.

а) Применим формулу синуса двойного аргумента $sin2x = 2sinxcosx$ и формулу приведения $sin(π — x) = sin x$.

Уравнение примет вид: ${2sinxcosx}/{sinx} = √2$.

Учитывая, что $sinx≠0, x≠πn, n∈Z$, получим:

$2cosx=√2$,

$cosx = {√2}/{2}$,

$x = ±{π}/{4} + 2πk, k∈Z$;

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-{5π}/{2};-π)$, с помощью окружности.

$x_1=-2π+{π}/{4}=-{7π}/{4}$

$x_2=-2π-{π}/{4}=-{9π}/{4}$

Ответ: а)$±{π}/{4}+2πk,k∈Z$;б)$-{9π}/{4};-{7π}/{4}$