а) Решите уравнение ${sin 2x}/{sin(π — x)}= √2$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{5π}/{2};-π)$.
а)${sin2x}/{sin(π — x)}=√2$.
а) Применим формулу синуса двойного аргумента $sin2x = 2sinxcosx$ и формулу приведения $sin(π — x) = sin x$.
Уравнение примет вид: ${2sinxcosx}/{sinx} = √2$.
Учитывая, что $sinx≠0, x≠πn, n∈Z$, получим:
$2cosx=√2$,
$cosx = {√2}/{2}$,
$x = ±{π}/{4} + 2πk, k∈Z$;
б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-{5π}/{2};-π)$, с помощью окружности.
$x_1=-2π+{π}/{4}=-{7π}/{4}$
$x_2=-2π-{π}/{4}=-{9π}/{4}$
Ответ: а)$±{π}/{4}+2πk,k∈Z$;б)$-{9π}/{4};-{7π}/{4}$