Перейти к содержанию

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали граней AA1B1B и BB1C1C равны 2√41 и 10 соответственно, AB=10

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Диагонали граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ равны $2√ {41}$ и $10$ соответственно, $AB=10$.

а) Докажите, что треугольник $A_1C_1B$ прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды $ACC_1B_1$.


а) Так как $A_1C_1 ⊥ B_1C_1$ и $A_1C_1 ⊥ CC_1$ по условию, то $A_1C_1 ⊥ BB_1C_1$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Следовательно, $A_1C_1 ⊥ BC_1$, то есть треугольник $A_1C_1B$ прямоугольный.

б) 1) $AC = A_1C_1 = √{A_1B^2 — BC^2_1} = √{(2√{41})^2 — 10^2} = 8$.

2) $B_1C_1 = BC = √{AB^2 — AC^2} = √{10^2 — 8^2} = 6$.

3) $CC_1 = √{BC_1^2 — BC^2} = √{10^2 — 6^2} = 8$.

4) $V_{ACC_1B_1} = {1}/{3}·S_{ACC_1} ·B_1C_1 = {1}/{3} · {1}/{2} ·AC·CC_1 ·B_1C_1 = {1}/{6} ·8·8·6 = 64$.

Ответ: 64