В августе планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июль каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в августе каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 5,1 млн рублей?
Пусть кредит планируется взять на n лет. Ежегодный платёж состоит из двух частей: одна и та же сумма x = 3/n млн рублей, на которую каждый год уменьшается сумма кредита (долга), и плата за пользование кредитом, которая составляет 20% от оставшегося долга. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на май должен уменьшаться до нуля равномерно:
3; 3 − x; 3 − 2x; . . . ; 3 − (n − 1)x; 0.
Ежегодные выплаты процентов за пользованием кредитом составят (в млн рублей):
0,2 * 3; 0,2 * (3 − x); 0,2 * (3 − 2x); . . . ; 0,2 * (3 − (n − 1)x).
Сумму выплат процентов за пользование кредитом посчитаем как сумму арифметической прогрессии.
За n лет клиент банка должен выплатить 3 млн рублей кредита и проценты за пользование кредитом (3n + 3) /10 млн рублей, что по условию равно 5,1 млн рублей.
3 + (3n + 3)/10 = 5,1; (3n + 3)/10 = 2,1, 3n + 3 = 21, n = 6.
Кредит планируется взять на 6 лет.
Ответ: 6.