Две окружности различных радиусов касаются друг друга внешним образом. Их общие касательные, не проходящие через точку касания окружностей, пересекаются в точке О. При этом одна из касательных касается окружностей в точках А и С, считая от точки О, а другая — соответственно в точках В и D.
а) Докажите, что прямая АВ перпендикулярна биссектрисе угла, образованного указанными касательными.
б) Найдите расстояние от середины отрезка АВ до точки С, если радиусы окружностей равны 2 и 6.
а) Рассмотрим рисунок. На нём O1 и O2 — центры окружностей (по свойству вписанной в угол окружности точки O1 и O2 лежат на биссектрисе ∠AOB), K и T — точки пересечения соответственно AB и CD c биссектрисой. O1A и O2C — радиусы окружностей, перпендикулярные касательной AC.
ΔO1AO = ΔO1BO по общей гипотенузе и острому углу, поэтому AO = BO. Таким образом, треугольник AOB является равнобедренным, и биссектриса OK угла O является высотой и медианой, поэтому точка K является серединой отрезка AB. Это и означает, что прямая AB перпендикулярна биссектрисе ∠AOB.
б) Пусть ∠AOO1 равен α. Проведём через O1 прямую O1L, параллельную AC.
Тогда по свойству соответственных углов при параллельных прямых OC и O1L и секущей OO2 ∠LO1O2 = α. Но O1O2 = 2 + 6 = 8, а LO2 = 6 − 2 = 4. Поэтому sin α = LO2/O1O2 = 4/8 = 1/2 . Так как α — острый угол, то α = 300 , cos α = √3 / 2 , tg α = 1 / √3.
Заметим, что AO1/OA = tg α = 1/√3 , OA = AO1/tg α = 2/1/√3 = 2√3,
OK = OA * cos α = 2√3 * √3/2 = 3.
Аналогично OC = CO2/tg α = 6/1/√3 = 6√3.
В ΔKOC по теореме косинусов
KC2 = OK2 + OC2 − 2 * OK * OC * cos α = 9 + 108 − 2 * 3 * 6√3 * √3/2 = 63, KC = √63 = 3√7.
Ответ: 3√7.