а) Решите уравнение: cos2 х + cos2 π/6 = cos2 2х + sin2 π/3.
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку [7π/2; 9π/2].
Так как sin π/3 = cos π/6 , то sin2 π/3 = cos2 π/6 , значит, заданное уравнение равно- сильно уравнению cos2 x = cos2 2x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos2 x − cos2 2x = 0.
Но cos2 x − cos2 2x = (cos x − cos 2x) * (cos x + cos 2x) и
cos 2x = 2*cos2 x − 1, поэтому уравнение примет вид
(cos x − (2 cos2 x − 1)) * (cos x + (2 cos2 x − 1)) = 0,
(2 cos2 x − cos x − 1) * (2 cos2 x + cos x − 1) = 0.
Тогда либо 2 cos2 x − cos x − 1 = 0, либо 2 cos2 x + cos x − 1 = 0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем: (cos x)1,2 = (1 ± √9) / 4 = (1 ± 3) / . Поэтому либо cos x = 1, либо cos x = − 1/2 . Если cos x = 1, то x = 2kπ, k ∈ Z. Если cos x = − 1/2 , то x = ± 2π/3 + 2sπ, s ∈ Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x = −1, либо cos x = 1/2 . Если cos x = −1, то корни x = π + 2mπ, m ∈ Z. Если cos x = 1/2 , то x = ± π/3 + 2nπ, n ∈ Z. Объединим полученные решения: x = mπ, m ∈ Z; x = ± π/3 +sπ, s ∈ Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x1 = 11π/3, x2 = 4π, x3 = 13π/3.
Ответ: а) mπ, m ∈ Z; ± π/3 + sπ, s ∈ Z; б) 11π/3 , 4π, 13π/3.