а) Решите уравнение $2 sin^2 x — 7 cos(x + {π}/{2})- 4 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-2π;-{π}/{2}]$.
а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:
$cos(x+{π}/{2})=-sinx,$
$2sin^2x + 7sinx -4 = 0$
Обозначим $sin x = t, −1 ≤ t ≤ 1$, получим
$2t^2 + 7t -4 = 0.$
$t_1 = {−7 − 9}/{2·2} = −4$ — не удовлетворяет условию $−1 ≤ t ≤ 1. $
$t_2 = {−7 + 9}/{2·2} = {1}/{2}$.
Вернёмся к исходной переменной:
$sinx ={1}/{2}$,
$x = {π}/{6} + 2πn, n ∈ Z$
$x = {5π}/{6} + 2πk, k ∈ Z$
б) Корни, принадлежащие отрезку $[-2π; -{π}/{2}]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим: ${π}/{6}-2π=-{11π}/{6}; {5π}/{6}-2π=-{7π}/{6}$.
Ответ: а) $ {π}/{6} + 2πn, n ∈ Z$; $ {5π}/{6} + 2πk, k ∈ Z$ б) $-{11π}/{6};-{7π}/{6}$