Найдите все значения параметра $а$, при которых уравнение $√{3^x-a}+{a-1}/{√{3^x-a}}=1$ имеет ровно два различных корня.
После приведения к общему знаменателю уравнение примет вид ${3x — a + a — 1}/{√{3^x — a}} = 1$ или ${3^x — 1}/{√{3^x — a}} = 1$. Пусть $3^x = t, t > 0$. Заметим, что после замены каждому положительному корню уравнения ${t — 1}/{√{t — a}} = 1$ соответствует единственный корень исходного уравнения (это следует из монотонности функции $3^x = t$). Уравнение ${t — 1}/{√{t — a}} = 1$ равносильно системе
${tablet — 1=√{t — a}; t>a;$
Возведём в квадрат обе части первого уравнения, учитывая, что $t ≥ 1$.
${tablea=-t^2+3t-1; t>a; t ≥ 1;$
Решим систему графически в системе координат $tOa$.
Вершина параболы $a = -t^2 + 3t — 1$ — точка с координатами $({3}/{2};{5}/{4})$.
Графики функций $a = -t^2 + 3t — 1$ и $a = t$ имеют единственную общую точку $t = 1$. Множество точек, удовлетворяющих неравенству $a < t$, представляет собой полуплоскость, лежащую ниже прямой $a = t$. $-t^2 + 3t - 1 = t, t^2 - 2t + 1 = 0, t = 1$.
По графику видно, что парабола $a = -t^2 +3t-1$ и прямая $a = const$ имеют ровно две общие точки при условии $t ≥ 1$, если $1 < a < {5}/{4}$, значит, исходное уравнение имеет ровно два корня при этих же значениях $a$.
Ответ: $(1;{5}/{4})$