В августе $2017$ года планируется взять кредит на $S$ млн рублей, где $S$ — целое число, на $4$ года. Условия его возврата таковы: — каждый февраль долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с марта по июль каждого года необходимо выплатить часть долга; — в августе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
| Год | $2017$ | $2018$ | $2019$ | $2020$ | $2021$ |
| Долг (в млн. руб.) | $S$ | $0{,}8S$ | $0{,}5S$ | $0{,}3S$ | $0$ |
Найдите наименьшее целое $S$, чтобы общая сумма выплат была больше $5$ млн рублей.
В феврале 2018 года долг возрастает на 25% по сравнению с концом 2017 года: $S + 0.25S = 1.25S$.
С марта по июль долг уменьшается на некоторое число, обозначим его $P_n$ и будем считать, учитывая условие, что в 2018 году было выплачено $P_1$ и в каждом следующем $P_2, P_3, P_4$, соответственно. Итак, составим выражения для выплат в каждом году.
2018 г: $1.25S — P_1 = 0.8S$;
2019 г: $1.25⋅0.8S — P_2 = 0.5S$;
2020 г: $1.25⋅0.5S — P_3 = 0.3S$;
2021 г: $1.25⋅0.3S — P_4 = 0$.
Общая сумма выплат $(P_1 + P_2 + P_3 + P_4)$ должна быть больше 5 млн рублей, то есть $P_1 + P_2 + P_3 + P_4 > 5$.
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S + 1.25·0.8S + 1.25·0.5S + 1.25·0.3S-(0.8S + 0.5S + 0.3S)$;
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S(1 + 0.8 + 0.5 + 0.3) — S·(0.8 + 0.5 + 0.3), S(1.25 ·2.6 — 1.6) > 5, S ·1.65 > 5, S > 3{1}/{33}$.
Отсюда, $S = 4$ млн руб. (наименьшее значение).
Ответ: 4