Перейти к содержанию

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x3+x2−16a2x−5x+ax3−16a2x=1 имеет единственный корень

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение ${x^3 + x^2 — 16a^2x — 5x + a}/{x^3 — 16a^2x}= 1$ имеет единственный корень.


В левой части уравнения выделим целую часть

${x^3 + x^2 — 16a^2x — 5x + a}/{x^3 — 16a^2x} = {x^3 — 16a^2x}/{x^3 — 16a^2x} + {x^2 — 5x + a}/{x^3 — 16a^2x} = 1 + {x^2 — 5x + a}/{x^3 — 16a^2x}$.

Тогда уравнение примет вид ${x^2 — 5x + a}/{x^3 — 16a^2x} = 0$.

Оно равносильно системе

${tablex^2 — 5x + a = 0; x^3 — 16a^2x ≠ 0;$ ${tablea = -x^2 + 5x; x ≠ 0, x ≠±4a;$

Решим систему графически в системе координат $xOa$. Для этого построим графики функций $a = -x^2 + 5x$ и $a =±{x}/{4}$.

Графиком функции $a = -x^2+5x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы — точка $({5}/{2}; {25}/{4})$, точки (0; 0) и (5; 0) принадлежат параболе. Графиками функций $a =±{x}/{4}$ являются прямые.

Решая уравнение $-x^2 + 5x = {x}/{4}$, находим точки пересечения прямой $a ={x}/{4}$ и параболы $a = -x^2 + 5x: x = 0, x = {19}/{4}$, откуда $a = 0, a = {19}/{16}$. Аналогично, решая уравнение $-x^2 + 5x = -{x}/{4}$, находим $a = 0, a = -{21}/{16}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при $a = -{21}/{16}, a = 0, a = {19}/{16}; a = {25}/{4}$.

Ответ: $-{21}/{16};0;{19}/{16};{25}/{4}$