Решите неравенство ${3log_{9}x+1}/{2log_{9}x+3}≤3-log_{9}x$.
Преобразуем исходное неравенство: ${3log_9x +1)- (3-log_9x)(2log_9x + 3)}/{2log_9x +3} ≤ 0$.
Обозначим $log_9x = t$.
Тогда неравенство примет вид: ${3t + 1- (3-t}/{2t+3} ≤ 0$.
${2t^2 − 8}/{2t +3} ≤ 0, {(t − 2)(t + 2)}/{t +{3}/{2}} ≤ 0.$
Последнее неравенство решим методом интервалов.
$(t − 2)(t + 2) = 0, t = -2; t = 2.$
$t +{3}/{2} ≠ 0, t ≠-{3}/{2}.$
Получим $t ∈ (−∞; -2] ∪ (-{3}/{2}; 2].$
Вернёмся к исходной переменной.
$[table{{tablelog_9x >-{3}/{2}; log_9x ≤2;}; log_9x ≤-2;$ $[table{{tablex >(9^{{3}/{2}})^{-1}; < x ≤ 81;}; < x ≤ 9^{-2};$
$[table{{tablex >(27)^{-1}; < x ≤ 81;}; < x ≤ {1}/{81};$ $[table{{tablex > {1}/{27}; < x ≤ 81;}; < x ≤ {1}/{81};$ $x ∈ (0; {1}/{81}] ∪ ({1}/{27}; 81].$
Ответ: $(0;{1}/{81}]∪({1}/{27};81]$