Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение ${3x + a — x^2 + 4a^2x — x^3}/{4a^2x — x^3} = 1$ имеет единственный корень.
В левой части уравнения выделим целую часть
${3x + a — x^2 + 4a^{2}x — x^3}/{4a^{2}x — x^3} = {4a^{2}x — x^3}/{4a^{2}x — x^3} + {-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x — x^3} = 1 + {-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x — x^3}$.
Тогда уравнение примет вид ${-x^2 + 3x + a}/{4a^{2}x — x^3} = 0$. Оно равносильно системе
${table -x^2 + 3x + a = 0; 4a^{2}x — x^3 ≠ 0;$ ${table a = x^2 — 3x; x ≠ 0, x ≠ ±2a;$
Решим систему графически в системе координат $xOa$. Для этого строим графики функций $a = x^2 — 3x$ и $a = ±{x}/{2}$.
Графиком функции $a = x^2 — 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы — точка $({3}/{2}; -{9}/{4})$, точки $(0; 0)$ и $(3; 0)$ принадлежат параболе. Графиками функций $a = ±{x}/{2}$ являются прямые.
Решая уравнение $x^2 — 3x = {x}/{2}$, находим точки пересечения прямой $a = {x}/{2}$ и параболы $a = x^2 — 3x: x = 0, x = {7}/{2}$, откуда $a = 0, a = {7}/{4}$. Аналогично, решая уравнение $x^2 — 3x = — {x}/{2}$, находим $x = 0, x = {5}/{2}$. Тогда $a = 0, a = — {5}/{4}$. Выкалываем эти точки.
По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых при $a = — {9}/{4}, a = — {5}/{4}, a = 0, a = {7}/{4}$.
Ответ: $-{9}/{4};-{5}/{4};0;{7}/{4}$