Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых решение неравенства ${(2√x — a)(a — x)}/ {√{3 — a^2 — x^2}}≥ 0$ содержит отрезок длины не менее $0.5$.
${(2√x — a)(a — x)}/{√{3 — a^2 — x^2}} ≥ 0$. Попробуем преобразовать неравенство к более простому виду. Заметим, что знаменатель влияет только на ОДЗ. Поэтому неравенство равносильно системе ${table (2√x — a)(a — x) ≥ 0; 3 — a^2 — x^2 > 0;$. Второе неравенство системы преобразуем так, чтобы получить неравенство для внутренней части круга. Первое неравенство преобразуем так, чтобы скобки выглядели симметрично ${table (2√x — a)(a — x) ≤ 0; a^2+x^2 < 3;$
Изобразим множество решений системы в системе координат $Oxa$. Решению соответствует заштрихованная область. При этом каждому фиксированному значению $a$ соответствует горизонтальная прямая. При фиксированном значении a решениями системы будут $x$, равные абсциссам тех точек горизонтальной прямой, которые лежат в заштрихованной области.
Прямая $a = x$ пересекает окружность $x^2 + a^2 = 3$ при $a = x = {√3}/{√2}$.
1) Из рисунка видно, что если горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит ниже (не выше) точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до графика $a = x$.
2) Если же горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит выше точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до окружности $a^2 + x^2 = 3$, при этом точки самой окружности в заштрихованную область не входят.
Таким образом, в первом случае (то есть при $a ≤ {√3}/{√2}$) выполняется $a ≤ 2√x, a ≥ x$, следовательно, $x ∈ [{a^2}/{4}; a]$.
При $a > {√3}/{√2}$ решением является промежуток $[{a^2}/{4}; √{3 — a^2}$.
Отсюда решение содержит отрезок длиной не менее ${1}/{2}$, если
$[table{{table a ≤ {√3}/{√2}; a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5}; {{table a > {√3}/{√2}; √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5};$
$[table{{table a ≤ {√3}/{√2}; a^2-4a+2 ≤ 0}; {{table a > {√3}/{√2}; 3-a^2 > ({a^2}/{4}+{1}/{2})^2};$
Решив системы, получим: $a ∈[2-√2; {√3}/{√2}]$ или $a ∈ ({√3}/{√2}; √2)$, отсюда $a ∈ [2 — √2; √2)$.
Замечание. Задачу можно решить и другими способами, например аналитически. Получив систему, можно заметить, что первое неравенство системы при $a < 0$ не имеет решений, а при $a ≥ 0$ имеет решением промежуток $[{1}/{4}a^2; a]$ (если $a ≤ 4$) или промежуток $[a; {1}/{4}a^2]$ (если $a > 4$). Решением второго неравенства будут $x$, удовлетворяющие неравенству $x < √{3 - a^2}$. Отсюда, в частности, $a ≤ √3$, то есть случай $a > 4$ не возможен.
Несложно убедиться, что при ограничениях $0 ≤ a ≤ √3$ для решения задачи достаточно решить систему ${table a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5; √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5;$
Ответ: $[2-√2;√2)$