Перейти к содержанию

Найдите все целые значения параметра a, при каждом из которых уравнение (ax−2x+3)(4×6−19×4−x2(5+4a)−a−17)=0 имеет хотя бы один целый корень

Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(ax-2x+3)(4x^6-19x^4-x^2(5+4a)-a-17)=0$ имеет хотя бы один целый корень.


Рассмотрим два случая:

1) $ax — 2x+3 = 0$; при $x = 0$ получим $3=0$, это не верно.

При $x ≠ 0, a = {2x — 3}/{x}, a = 2 — {3}/{x}$.

По условию числа $a$ и $x$ целые, поэтому число ${3}/{x}$ тоже целое, что возможно при $x = ±1, x = ±3$.

При $x = 1$ получим $a = -1$,

при $x = -1$ получим $a = 5$,

при $x = 3$ получим $a = 1$,

при $x = -3$ получим $a = 3$.

2) $4x^6 — 19x^4 — 5x^2 — 4ax^2 — a — 17 = 0$,

$a(4x^2 + 1) = 4x^6 — 19x^4 — 5x^2 — 17$,

$a = {4x^6 — 19x^4 — 5x^2 — 17}/{4x^2 + 1}$.

$a = x^4 -5x^2 — {17}/{4x^2 + 1}$. Так как $a$ и $x$ — целые числа, то ${17}/{4x^2 + 1}$ тоже целое число. Это возможно при $4x^2 + 1 = 1$ или $4x^2 + 1 = 17$.

$x^2 = 0, x = 0, a = 0 — 0 — 17 = -17$;

$x^2 = 4, x = ±2, a = 2^4 — 5·2^2 — {17}/{4·2^2 + 1} = -5$.

Уравнение имеет хотя бы один целый корень при значениях $a$, равных $-17; -5; -1; 1; 3; 5$.