$15$ января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита на $50%$ больше суммы, взятой в кредит?
Рассмотрим два способа решения.
I способ
Пусть K сумма планируемого кредита, nчисло месяцев на которое планируется взять кредит.
Тогда долг на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, становится меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на сумму ${K}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на 15-е число по месяцам имеет вид:
$K; K — {K}/{n} = K·{n — 1}/{n}; K — 2·{K}/{n} = K·{n — 2}/{n}; … ; K· {1}/{n}$.
2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 12.5% по сравнению с концом предыдущего месяца.
Пусть d долг, который образуется в конце предыдущего месяца. 1-го числа последующего месяца он станет равным $d + d·{12.5}/{100}$.
Согласно условию к 15-у числу этого месяца он должен стать равным $d — {K}/{n}$. Поэтому в указанном месяце необходимо выплатить сумму $(d + d·{12.5}/{100}) — (d — {K}/{n}) = d·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по месяцам:
$x_1 = K·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_2 = K·{n — 1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_3 = K·{n — 2}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
… ;
$x_n = K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … x_n$ является убывающей арифметической прогрессией (наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$). Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2} ·n$.
3. По условию $S_n$ на 50% больше суммы, взятой в кредит, поэтому $S_n = {3}/{2}K$:
$S_n = {K·{12.5}/{100} + {K}/{n} + K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}}/{2} ·n = {K ·{12.5}/{100}(1 + {1}/{n}) + {2K}/{n}/{2} ·n$;
$S_n = K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K$.
Отсюда, $K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K = {3}/{2}K, {12.5}/{200}(n + 1) = {1}/{2}, {1}/{16}(n + 1) = {8}/{16}, n + 1 = 8, n = 7$.
II способ
Пусть K — сумма планируемого кредита, n — число месяцев, на которое планируется взять кредит. Ежемесячный платёж состоит из двух частей. Перваяодна и та же сумма ${K}/{n}$ рублей, на которую каждый месяц уменьшается сумма долга.
Вторая плата за пользованием кредитом, которая составляет 12.5% от оставшегося долга.
Долг перед банком по состоянию на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, должен уменьшаться до нуля равномерно: $K; K — {K}/{n}; K — 2·{K}/{n}; . . . ; K — (n — 1)·{K}/{n}; K — n{K}/{n} = 0$.
$K·{n}/{n}; K·{n — 1}/{n}; K·{n — 2}/{n}; . . . ; K·{n — (n — 1)}/{n} = K·{1}/{n}; 0$.
Так как $12.5% = {12.5}/{100} = {1}/{8}$, то ежемесячные выплаты за пользование кредитом составят
${1}/{8}K·{n}/{n}, {1}/{8}K·{n — 1}/{n}, {1}/{8}K ·{n — 2}/{n}, . . . , {1}/{8}K·{1}/{n}$.
Найдём сумму выплат $S$ за пользование кредитом: $S = {K}/{8n} (n + (n — 1) + (n — 2) + … + 1) = {K}/{8n}· {n + 1}/{2}· n = {K(n + 1)}/{16}$.
По условию общая сумма выплат после погашения кредита на 50% больше суммы, взятой в кредит, то есть $S = {1}/{2}K$.
${K(n + 1)}/{16} = {1}/{2}K, n + 1 = 8, n = 7$.
Кредит планируется взять на $7$ месяцев.
Ответ: 7