Перейти к содержанию

Для 20 студентов профессор подготовил две контрольные работы

Для $20$ студентов профессор подготовил две контрольные работы. Любой студент может написать только одну из них или обе. За каждую контрольную работу можно получить от $0$ до $30$ баллов. Средний балл за каждую из контрольных работ равен $24$. Каждый студент называет наивысший из полученных им баллов профессору. Если студент написал одну работу, то он называет балл за неё. а) Может ли среднее арифметическое всех поданных баллов быть меньше $24$? б) Может ли среднее арифметическое равняться $21$, если обе конт-
рольные написали только $2$ студента? в) Какое наименьшее количество студентов должно было написать обе контрольные, чтобы среднее арифметическое названных баллов равнялось $21$?


а) Пусть два человека написали обе контрольные, за каждую из них набрав по 30 баллов. И пусть 9 человек написали только первую контрольную (двое на — 18 баллов и семеро на — 24 балла). Аналогично, пусть только вторую контрольную написали 9 оставшихся студентов (двое на — 18 баллов и семеро на — 24 балла). Тогда средний балл за каждую контрольную равен ${30·2 + 18·2 + 7·24}/{11} = 24$. Среднее арифметическое названных баллов равно ${30·2 + 18·4 + 24·14}/{20} = 23.4 < 24$.

б) Нет, не может. Предположим противное. Тогда сумма названных баллов равна $21·20 = 420$. Всего написанных контрольных 22 и сумма набранных за них баллов равна $22·24 = 528$. При этом, 528 — 420 = 108, то есть 108 баллов из заработанных не были поданы профессору. Эти 108 баллов могли быть заработаны только двумя студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из них не назвал баллы за 1 контрольную, то есть не более 30 баллов. В сумме количество баллов, не поданных профессору, не превышает $2·30 = 60$. Но $108 > 60$, поэтому наше предположение не верно.

в) Пусть k студентов написали обе контрольные, тогда всего было написано (20 + k) работ и общее количество заработанных баллов равно 24(20 + k) = 480 + 24k. Сумма баллов, названных профессору, равна $21·20 = 420$. Тогда не поданными остались (480+ 24k — 420) = 60 + 24k баллов. Эти баллы могли быть получены только теми студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из этих студентов оставил не поданными не более 30 баллов (30 — максимальный балл за одну контрольную). Следовательно, всего осталось не поданными не более 30k баллов. Получим неравенство $60 + 24k ≤ 30k$, отсюда $k ≥ 10$.

Приведём пример для k = 10. Пусть 10 студентов написали обе контрольные на 30 баллов, 5 — только первую контрольную (каждый на 12 баллов), 5 — только вторую контрольную (каждый на 12 баллов). Тогда среднее арифметическое названных баллов равно ${30·10 + 12·10}/{20} = 21$.

Средний балл за каждую контрольную равен ${30·10 + 5·12}/{15} = 24$.

Ответ: а)да; б)нет; в)10