В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $50000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $82000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r} / {100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль 2021: $S_1 = qS — x$,
июль 2022: $S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$,
июль 2023: $S_3 = qS_2 — x = q^3S — (q^2 + q + 1)x$,
июль 2024: $S_4 = qS_3 — x = q^4S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4S — {(q^4 — 1)x} / {q — 1}$. Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда
$q^2S — (q + 1)x_2 = 0$, $S = {(q + 1)x_2} / {q^2}$. Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда
$q^4S — {(q^4 — 1)x_4} / {q — 1} = 0$, $S = {(q^4 — 1)x_4} / {q^4(q — 1)}$. Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим
${(q + 1)x_2} / {q^2} = {(q^4 — 1)x_4} / {q^4(q — 1)}$, $q^2 = {x_4} / {x_2 — x_4}$. По условию $x_4 = 50000$, $x_2 = 82000$. Значит,
$q^2 = {50000} / {82000 — 50000} = {25} / {16}$, $q = {5} / {4} = 1{,}25$, $r = 25 %$.
Ответ: 25