В мае планируется взять кредит в банке на сумму $15$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $6%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.
На сколько лет надо взять кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения кредита составляла $17{,}25$ млн рублей?
1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на май месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на май предыдущего года на сумму ${15}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на май месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$15; 15 — {15}/{n} = 15·{n — 1}/{n}; 15 — 2·{15}/{n} = 15·{n — 2}/{n}; … ; 15·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{6}/{100}$.
Согласно условию к маю этого года он должен стать равным $d — {15}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {6}/{100}) — (d — {15}/{n}) = d·{6}/{100} + {15}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 15 · {6}/{100} + {15}/{n}$;
$x_2 = 15 · {n — 1}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$;
$x_3 = 15 · {n — 2}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$;
… ;
$x_n = 15 · {1}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n=17.25$:
$17.5={15·{6}/{100} + {15}/{n} + 15·{1}/{n}·{6}/{100} + {15}/{n}}/{2}·n $;
$34.5 = 0.9n + 0.9 + 30; 3.6 = 0.9n; n = 4.$.
Ответ: 4