Перейти к содержанию

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро равно 4√2

В правильной треугольной призме $ABCA_1 B_1 C_1$ сторона основания равна $12$, а боковое ребро равно $4√ {2}$. На рёбрах $AB$, $A_1 B_1$ и $B_1 C_1$ отмечены точки $F$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AF=B_1 N=C_1 K =4$.
а) Пусть $L$  — точка пересечения плоскости $FNK$ с ребром $AC$. Докажите, что $FNKL$  — ромб.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $FNK$.


а) Докажем, что $FNKL$ — ромб.

1) Так как точка $L$ — точка пересечения плоскости $FNK$ с ребром $AC$, то (по свойству параллельных плоскостей) линии пересечения плоскости $FNK$ с основанием призмы параллельны, т.е $FL ‖ N K$.

2) В основаниях правильной треугольной призмы лежат правильные треугольники со стороной $12$.

В треугольнике $NB_1K$ $∠B1 = 60°, NB_1 = 4$ по условию, а $B_1 K = 12 — 4 = 8$. По теореме косинусов $N K = 4√3$, поэтому $N K^2 + NB_1^2 = KB_1^2$. Отсюда следует, что $∠N = 90°, ∠K = 30°$.

Значит, $N K ⊥ A_1B_1$ и $F L ⊥ AB$, т.к. $N K ‖ F L$, а $A_1B_1 ‖ AB$.

3) В $△AFL$ $∠A = 60°, ∠F = 90°, AF = 4$;

$AF$ в прямоугольном $△AFL$ лежит против $∠L = 30°$, следовательно, $AF = {1}/{2}AL, AL = AF · 2 = 4 · 2 = 8$;

$FL^2 = AL^2 — AF^2 = 8^2 — 4^2 = 64 — 16 = 48, F L = 4√3$.

Имеем $N K ‖ F L$ и $N K = F L$, следовательно $F N K L$ — параллелограмм.

Проведём $N E ⊥ F B$.

В $△NFE$ $∠E = 90°, N E = 4√2, F E = 12 — 8 = 4$.

$FN^2 = NE^2 + FE^2 = (4√2)^2 + 4^2 = 32 + 16 = 48$,

$FN = √48 = 4√3, KL = FN$ как противоположные стороны параллелограмма.

4) Имеем: $N K = K L = F N = F L$, следовательно, $F N K L$ — ромб.

б) $K N ⊥ A_1B_1 , K N ⊥ N E ⇒ K N ⊥ (AA_1B_1)$ и $K N ⊥ F N$, значит $K N F L$ — квадрат, $S_{KNFL} = FN^2 = 48$.

Построим сечение пирамиды плоскости F N K .

Продлим $FL$ до пересечения с $BC$, получим точку $P$.

Соединим точку $P$ с точкой $K$, $KP$ пересекает $CC_1$ в точке $M$. Соединим точку $M$ с точкой $L$.

Пятиугольник $F N K M L$ — искомое сечение.

В прямоугольном $△FBP$ $∠B = 60°$, значит $BP = 2FB = 16, PC = 16 — 12 = 4$.

$KC_1 = CP, ∠KC_1M = ∠MCP = 90°$, тогда $△KC_1M = △PCM$ и $C_1M = CM = 2√2. KM = √{4^2 + (2√2)^2} = √{24}$. В $△LMC$ $LM^2 = LC^2 + MC^2, LC = AC — AL = 12 — 8 = 4, MC = {1}/{2}CC_1 = 2√2, √{4^2 + (2√2)^2} = √{24}, K L = √{48}$, следовательно, $△KLM$ прямоугольный, $S_{KLM} = {1}/{2}(√{24})^2 = 12$.

$S_{сеч} = S_{KNFL} + S_{KLM} = 48 + 12 = 60$.

Ответ: 60