Основанием прямой треугольной призмы $PQRP_1Q_1R_1$ является прямоугольный треугольник $PQR$ с прямым углом $R$. Диагонали боковых граней $PP_1Q_1Q$ и $PP_1R_1R$ равны $17$ и $15$ соответственно, $PQ = 10$.
а) Докажите, что треугольник $P_1QR$ прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды $P_1QRR_1$.
По условию задачи сделаем чертёж.
а) Прямая $QR$ перпендикулярна плоскости $PP_1R_1R$, поскольку она перпендикулярна прямым $PR$ и $RR_1$. Значит, прямые $QR$ и $RP_1$ перпендикулярны, следовательно, в $△P_1QR$
$∠P_1RQ = 90°$.
б) Пусть $V$ — объём призмы $PQRP_1Q_1R_1$. Тогда объём треугольной пирамиды $PP_1QR$ равен ${V}/{3}$, поскольку её высота $PP_1$ и основание $PQR$ совпадают с высотой и основанием призмы соответственно. Аналогично, объём треугольной пирамиды $P_1Q_1R_1Q$ равен ${V}/{3}$. Призма $PQRP_1Q_1R_1$ составлена из трёх пирамид: $PP_1QR, P_1Q_1R_1Q$ и $P_1QRR_1$. Значит, объём пирамиды $P_1QRR_1$ равен ${V}/{3}$.
В призме $PQRP_1Q_1R_1 : QQ_1 = √{P_1Q^2 — P_1Q_1^2} = 3√21, QR = √{P_1Q^2 — P_1R^2} = 8, PR = √{PQ^2 — QR^2} = 6, V = PP_1 · {PR · QR}/{2} = 72√21$.
Таким образом, объём пирамиды $P_1QRR_1$ равен $24√21$.
Ответ: 24sqrt{21}