Найдите наибольшее значение функции y=ln(4−2x)+2x−7 на отрезке [0;1,7]

Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.7]$ целиком лежит в области определения.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:

$y′ = {1}/{4 — 2x} · (4 — 2x)′ + (2x)′ — 70 = {-2}/{4-2x} + 2 = {2x — 3}/{x — 2}$.

$y′ = {2x — 3}/{x — 2}$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. {2x — 3}/{x — 2} = 0, 2x — 3 = 0, x = {3}/{2}$.

Получили одну стационарную точку $x = {3}/{2}$, которая принадлежит промежутку $(0; 1.7)$.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $(2x — 3)(x — 2) = 2x^2 — 7x + 6$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, и корнями являются числа ${3}/{2}$ и $2$. Поэтому при $0 < x < {3}/{2}$ его знак «плюс», а при ${3}/{2} < x < 1.7$ знак «минус».

При переходе через точку $x = {3}/{2}$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x = {3}/{2}$ является точкой максимума и в ней достигается наибольшее значение (так как других точек экстремума нет).

4. $y({3}/{2}) = ln (4 — 2 · {3}/{2}) + 2 · {3}/{2} — 7 = ln 1 + 3 — 7 = -4$.

Ответ: -4