Решите неравенство: 4x+164x−16+4x−164x+16⩾4⋅4x+1+48016x−256

${4^x+16}/{4^x — 16} + {4^x — 16}/{4^x +16} ≥ {4·4^{x+1} + 480}/{16^x — 256}$;

${(4^x +16)^2 + (4^x — 16)^2}/{(4^x — 16)(4^x +16)} ≥ {4·4^{x+1} + 480}/{(4^x — 16)(4^x + 16)}$,

${4^{2x} +32 · 4^x + 256 + 4^{2x} — 32 · 4^x + 256-480-16· 4^x}/{(4^x — 16)(4^x +16)} ≥ 0$,

${4^{2x} — 8 · 4^x + 16}/{(4^x — 16)(4^x +16)} ≥ 0$,

${(4^x — 4)^2}/{(4^x — 16)(4^x +16)} ≥ 0$.

Обозначим $4^x = t, t > 0$ и найдём решения неравенства ${(t — 4)^2}/{(t — 16)(t +16)} ≥ 0$.

Числитель неотрицательное число, либо равное нулю при $t = 4$, то есть $4^x = 4, x = 1$.

Знаменатель — положительное число при $t < -16$ или $t > 16$.

А так как $t > 0$, то $t > 16$, то есть $4^x > 16, x > 2$.

Итак, $x ∈ {1}∪(2; +∞)$.