Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $AB$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $C$, отличной от $K$. Лучи $KO$ и $KC$ вторично пересекают б’ольшую окружность в точках $D$ и $E$ соответственно. Точка $B$ лежит на дуге $EK$ большей окружности, не содержащей точку $D$.
а) Докажите, что прямые $DE$ и $AB$ параллельны.
б) Известно, что $sin∠ KOB = {√ {15}} / {8}$. Прямые $DB$ и $EK$ пересекаются в точке $L$. Найдите отношение $EL:LK$.
а) $KD$ — диаметр большей окружности ($O ∈ KD$), $O_1$ — центр меньшей окружности, $l$ — общая касательная двух окружностей, проходящая через точку $K$ (см. рис.). $O_1 ∈ KD$. Действительно, $OK⊥ l$, $O_1K⊥ l$ как радиусы, проведённые в точку касания, значит, точки $O$, $K$, $O_1$ лежат на луче $KO$. $∠ DEK=∠ OCK=90°$ как вписанные углы, опирающиеся на диаметры $DK$ и $OK$ соответственно. $C∈ EK$, следовательно, $DE∥ AB$ как два перпендикуляра к одной прямой.
б) Так как диаметр $AB$, перпендикулярный хорде $EK$, делит её пополам, то $CE=CK$, следовательно, $⌣ KB=⌣ BE$ (см. рис.). Угол $EDK$ вписанный, опирается на дугу $EK$, а угол $BOK$ — центральный, опирается на половину дуги $EK$, следовательно, $∠ EDK=∠ BOK=α$; $∠ EDB=∠ BDK$ как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, тогда $DL$ — биссектриса треугольника $DEK$, а по свойству биссектрисы ${EL} / {LK}={DE} / {DK}=cos α=√ {1-sin^2 α}$.
${EL} / {LK}=√ {1-{15} / {64}}={7} / {8}$.
Ответ: fsm78