В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $P$ и $K$ — середины катета $BC$ и гипотенузы $AB$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $KP$ в точке $R$. а) Докажите, что точки $A$, $B$, $C$ и $R$ лежат на одной окружности. б) Найдите отношение площадей треугольников $AKR$ и $BCR$, если $sin ∠ BAC={15} / {17}$.
а) Отрезок, соединяющий вершину прямого угла и середину гипотенузы, равен половине длины гипотенузы, то есть $AK = K B = K C. AR$ — биссектриса угла $BAC$, значит $∠C AR = ∠BAR = α$.
$K P$ — средняя линия $△ABC$, значит, $K P ‖ AC$.
Накрест лежащие углы $CAR$ и $ARK$ равны (секущая $AR$).
В треугольнике $AK R$ равны углы $K AR$ и $K RA$, значит $AK = K R$.
Получим $AK = K B = K C = K R$, значит точки $A, B, C$ и $R$ лежат на окружности с центром $K$.
б) $∠C BR = ∠C AR и ∠BAR = ∠BC R$ (опираются на дуги $C R$ и $BR$ соответственно), таким образом, треугольники $AK R$ и $BC R$ подобны по двум углам. По теореме синусов для треугольника $ABR$ получим ${BR}/{sin ∠RAB} = 2r$, где $r$ — радиус описанной окружности, то есть $2r = AB$. Получили ${BR}/{AB} = sin ∠RAB = sin α$.
Но коэффициент подобия треугольников $AK R$ и $BC R$ равен ${AK}/{BR} = {2AK}/{2BR} = {AB}/{2BR} = {1}/{2 sin α}$.
По условию $sin ∠BAC = sin 2α = {15}/{17}$.
Тогда $cos 2α = √{1 — ({15{/{17})^2} = {8}/{17}, cos 2α = 1 — 2 sin^2 α = {8}/{17}, 2 sin^2 α = {9}/{17}$.
Площади треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому ${S_{AKR}}/{S_{BCR}} = ({1}/{2sin α})^2 = {1}/{2 · {9}/{17}} = {17}/{18}$.
Ответ: 17:18