Перейти к содержанию

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x−4ax+4+x−1x−a=1 имеет единственный корень

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение ${x-4a} / {x+4}+{x-1} / {x-a}=1$ имеет единственный корень.


Преобразуем данное уравнение.

${(x — 4a)(x — a) + (x + 4)(x — 1) — (x + 4)(x — a)}/{(x + 4)(x — a)} = 0$,

${x^2 — ax — 4ax + 4a^2 + x^2 + 3x — 4 — x^2 + ax — 4x + 4a}/{(x + 4)(x — a)} = 0$,

${x^2 — x(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4}/{(x + 4)(x — a)} = 0$,

${tablex^2 — x(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0; (x + 4)(x — a) ≠ 0;$.

Решим уравнение $x^2 — x(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0$.

$x = {(4a + 1) ±√{-8a + 17}}/{2}$

1. При $D < 0$ уравнение корней не имеет.

2. При $D = 0, -8a + 17 = 0, a = {17}/{8}$. Уравнение имеет единственный корень $x = {4a + 1}/{2}$ при $a = {17}/{8}. x = {4 · {17}/{8} + 1}/{2} = 4.75$.

Выполнено условие $x ≠ -4, x ≠ a$.

Значит, $a = {17}/{8} = 2.125$ удовлетворяет условию задачи.

3. При $D > 0$ уравнение имеет два корня.

$x = {(4a + 1) ±√{17 — 8a}/{2}$.

Проверим при каких значениях $a$ значения $x = -4$ и $x = a$ являются корнями уравнения $x^2 — x(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0$.

При $x = -4$ должно выполняться равенство $16 + 4(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0, a^2 + 5a + 4 = 0, a = -4, a = -1$.

При $x = a$ должно выполняться равенство $a^2 — 4a^2 — a + 4a^2 + 4a — 4 = 0, a^2 + 3a — 4 = 0, a = 1, a = -4$.

При $a = -1, a = 1$ исходное уравнение имеет единственный корень.

При $а=-4$, $D>0$ и корни $х=-4$ и $х=а$ совпадают, поэтому это значение параметра также подходит

Ответ: -4$;$-1$;$1$;$2.125