Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду Сместиться на (a,b) (где a, b — целые числа), перемещающую Чертёжника из точки с координатами (x, y) в точку с координатами (x +a, y +b). Если числа a, b положительные, значение соответствующей координаты увеличивается, если отрицательные — уменьшается. Например, если Чертёжник находится в точке с координатами (2, 3), то команда Сместиться на (-5,2) переместит Чертёжника в точку (−3, 5).
Цикл
ПОВТОРИ число РАЗ
последовательность команд
КОНЕЦ ПОВТОРИ
означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм (количество повторений и величины смещения в первой из повторяемых команд неизвестны):
НАЧАЛО
Сместиться на (-11,32)
ПОВТОРИ … РАЗ
Сместиться на (15,-12)
Сместиться на (… , …)
КОНЕЦ ПОВТОРИ
Сместиться на (-19,38)
КОНЕЦ
В результате выполнения этого алгоритма Чертёжник возвращается в исходную точку. Какое наибольшее число повторений могло быть указано в конструкции «ПОВТОРИ … РАЗ»?.
Пусть первоначально Чертёжник находился в точке с координатами (x, y). Обозначим через n число повторений цикла, через a и b смещения по оси x и y в команде Сместиться на (… , …). Тогда после выполнения заданного алгоритма Чертёжник переместится в точку с координатами (x − 11 + n(15 + a) − 19, y + 32 + n(−12 + b) + 38) = (x − 30 + n(15 + a), y + 70 + n(b − 12)).
После выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку, из которой он начал движение, то есть в точку с координатами (x, y). Следовательно, должны выполняться условия
${tablex − 30 + n(15 + a) = x; y + 70 + n(b − 12) = y;$
Отсюда
${tablen(15 + a) = 30; n(b − 12) = −70;$
Наибольшее возможное n является наибольшим общим делителем чисел 30 и −70. Следовательно, n = 10.
Ответ: 10