Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система:
имеет единственное решение.
Если x ≥ 0 , то уравнение (|x| — 5)2 + (y — 4)2 = 9 задаёт окружность ω1 с центром в точке C1(5;4) радиусом 3, а если x < 0, то оно задаёт окружность ω2 c центром в точке C2(-5;4) таким же
радиусом (см. рисунок).
При положительных значениях а уравнение (x + 2)2 + y2 = a2 задаёт окружность с центром в точке C(-2;0) радиусом а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения а, при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2 .
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1, то условию задачи удовлетворяют только числа a = 2 и a = √65 + 3
Ответ: 2; √65 + 3