Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|a2 + 3 — x| + |x — a — 2| + |x — 3a — 1| = a2 — a + 1
имеет хотя бы один корень.
Используем «неравенство треугольника»: |x + y| <= |x| + |y|, где равенство
достигается, если x и y или оба неотрицательны, или оба неположительны.
Поскольку a2 — a + 1 > 0, будем иметь:
Следовательно, в цепочке (1) все неравенства обращаются в равенства. Это
возможно лишь в том случае, когда (a2 + 3 — x) и (x — a — 2) неотрицательны (так как их сумма положительна), а x — 3a — 1 = 0. Получим систему условий:
Подставим значение x = 3a + 1 из первого равенства системы (2) во второе и третье:
Ответ: [0,5; 1] U [2; +∞).