а) Решите уравнение $3√{2}sin({π}/{2}+x)-2=2cos^{2}x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};{5π}/{2}]$.
а) Запишем исходное уравнение в виде $2 cos^2 x — 3√2 cos x + 2 = 0$.
Решая это уравнение как квадратное относительно $cos x$, получим $(cos x)_{1,2} ={3√2±√{18 — 16}}/{4}={3√2± √2}/{4}$.
Значит, $(cos x)_1 = {√2}/{2}$, откуда $x =π/4 + 2πn, n ∈ Z$ или $x =-π/4 + 2πn, n ∈ Z$.
Уравнение $(cosx)_2 = √2$ корней не имеет.
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};{5π}/{2}]$ с помощью числовой окружности.
Получим числа
$2π -{π}/{4} ={7π}/{4}$;
$2π + {π}/{4} = {9π}/{4}$.
Ответ: а)$±{π}/{4}+2πn,n∈Z$;б)${7π}/{4},{9π}/{4}$