Площадь основания конуса равна $27$. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной $2$ и $4$, считая от вершины (см. рис.). Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Пусть $CA = R$ — радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса — круг, радиус которого $OD = r$.
$OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ — общий). По условию $BO = 2, OC = 4$, значит, $BC = 6$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{3}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{9}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $9$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $27 : 9 = 3$.
Ответ: 3