а) Решите уравнение $27^{x} — 5·9^{x} — 3^{x+4} + 405 = 0$.
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_{3}6; log_{3}10]$.
а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.
$3^{3x} — 5·3^{2x} — 81·3^x + 405 = 0$,
$3^{2x}(3^x — 5) — 81(3^x — 5) = 0$,
$(3^{2x} — 81)(3^x — 5) = 0$.
Получаем: $3^{2x} -81 = 0$ или $3^x -5 = 0$. Значит, $3^{2x} = 81$, откуда $x = 2$ или $3^x = 5$, откуда $x = log_{3}5$.
б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку $[log_{3}6; log_{3}10]$. Заметим, что $2 = log_{3}9$. Тогда $log_{3}5 < log_{3}6 < 2 < log_{3}10$. Значит, указанному отрезку принадлежит корень $x = 2$.
Ответ: а)$2;log_{3}5$; б)$2$