а) Решите уравнение ${sin 2x}/{sin({3π}/{2}+ x)}= 1$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(3π;{9π}/{2})$.
а) ${{sin2x}/{sin({3π}/{2} + x)} = 1$.
Зная, что $sin2x = 2sinxcosx$ и $sin({3π}/{2}+ x)= −cosx$, получим: ${2sinxcosx}/{−cosx}= 1$, где $cosx≠0, x≠{π}/{2}+ πm, m ∈ Z$.
$−2sinx = 1, sinx =−{1}/{2}$.
$x=−{π}/{6}+2πn, n ∈ Z;$
$x=-{5π}/{6}+ 2πk, k ∈ Z$.
б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $(3π; {9π}/{2})$,с помощью числовой окружности.
$x_1=3π+{π}/{6}={19π}/{6}$,
$x_2=4π−{π}/{6}={23π}/{6}$.
Ответ: а)$-{π}/{6}+2πn,-{5π}/{6}+2πk,n,k∈Z$;б)${19π}/{6};{23π}/{6}$