В правильной треугольной пирамиде $BMNK$ с основанием $MNK$ сторона основания равна $6$, а высота пирамиды равна $3$. На рёбрах $MN, MK$ и $MB$ соответственно отмечены точки $F, E$ и $P$, такие, что $MF = ME ={√{21}}/{2}$ и $MP ={7}/{4}$.
а) Докажите, что плоскости $FEP$ и $NBK$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $NBK$.
а) Чтобы доказать, что плоскости $FEP$ и $NKB$ параллельны, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые $PF$ и $FE$ плоскости $FEP$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $BN$ и $NK$ плоскости $BNK$. Покажем это.
Найдём боковое ребро $MB$ из треугольника $MBO$:
$MO ={2}/{3} MO_1 = 2√3$,
$MB = √{OB^2 + OM^2} = √{3^2 + (2√3)^2} = √{21}$.
1. ${MP}/{MB} ={7}/{4·√{21}}={√{21}}/{12},{MF}/{MN} ={√{21}}/{2·6} = {√{21}}/{12}$. Отношения сторон равны. Используя условие, что $∠BMN$ общий, получим: $∆MPF∼∆MBN$. Из подобия треугольников следует, что $∠MPF = ∠MBN$. Эти углы — соответственные, образованные при пересечении двух прямых $PF$ и $BN$ прямой $MB$. Значит, $PF ‖ BN$.
2. Рассматривая треугольники $MEF$ и $MKN$, можно аналогично доказать, что $FE ‖ NK$.
Так как две пересекающиеся прямые $PF$ и $FE$ плоскости $PFE$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $BN$ и $NK$ плоскости $NBK$, то эти плоскости параллельны.
б) В $∆MKN$ $MO_1$ — высота, $MO_1 = {a√3}/{2}$, где $a$ — сторона $∆MNK$ $MO_1 = {6√3}/{2} = 3√3$.
Пусть $O_2$ — точка пересечения $MO_1$ и $FE$. Поскольку плоскость $PFE$ параллельна плоскости $BNK$, то расстояние от точки $P$ до плоскости $BNK$ равно расстоянию от точки $O_2$ до плоскости $BNK$, и оно равно длине отрезка $O_2H$, где точка $H$ лежит на $BO_1$ и $O_2H ⊥ BO_1$. Докажем, что $O_2H$ — расстояние от $O_2$ до плоскости $BNK$.
$NK ⊥ MO1$ и $NK ⊥ BO_1$ ($MO_1$ и $BO_1$ — высоты $∆MNK$ и $∆NBK$), значит, $NK$ перпендикулярна плоскости $MBO_1$, и тогда $NK$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе $NK ⊥ O_2H$. По построению $O_2H ⊥ BO_1$. Прямая $O_2H$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $BNK$, значит, она перпендикулярна $BNK$, и отрезок $O_2H$ равен расстоянию от $O_2$ до плоскости $BNK$.
В треугольнике $O_2HO_1: O_2H = O_2O_1 sin∠HO_1O_2$.
$O_2O_1 = MO_1-MO_2$.
Из $∆MEO_2: ∠MO_2E = 90°, ∠EMO_2 = 30°$;
$MO_2 = MEcos30° = {√{21}}/{2}·{√3}/{2} = {3√7}/{4}$.
$O_2O_1 = 3√3 — {3√7}/{4} = {3(4√3 — √7)}/{4}$;
$sin ∠HO_1O_2 = {BO}/{BO_1} = {BO}/{√{BO^2 + OO_1^2}} = {3}/{√{3^2 + (√3)^2}} = {√3}/{2}$.
$O_2H = {3(4√3 — √7)}/{4}·{√3}/{2} = {3(12 — √{21})}/{8}$.
Ответ: ${3(12-√{21})}/{8}$