а) Решите уравнение $sin x(2 sin x — 1) + √3 sin x + sin {4π}/{3}= 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{π}/{2};π]$.
а) Решим уравнение $sinx(2sinx-1) +√3sinx + sin{4π}/{3} = 0$.
Так как $sin{4π}/{3} = sin(π +{π}/{3}) = − sin{π}/{3} = −{√3}/{2}$, то уравнение примет вид $sin x(2 sin x-1) +√3 sin x-{√3}/{2} = 0$. Отсюда $2 sin x(sin x-{1}/{2})+ √3(sin x-{1}/{2}) = 0; (2sinx+√3)(sin x-{1}/{2}) = 0$.
Тогда $sin x = {1}/{2}; x = (−1)^n{π}/{6} + πn$ или $sin x = −{√3}/{2}; x = (−1)^{n+1}{π}/{3} + πn$, где $n ∈ Z.$
б) Корни, принадлежащие промежутку $[−{π}/{2}; π)$, найдём с помощью числовой окружности: $−{π}/{3}; {π}/{6}; {5π}/{6}$.
Ответ: а)$(-1)^{n}{π}/{6}+πn;(-1)^{n+1}{π}/{3}+πn,n∈Z$; б) $-{π}/{3};{π}/{6};{5π}/{6}$