Перейти к содержанию

Два мастера на протяжении некоторого числа дней изготавливали одинаковые детали

Два мастера на протяжении некоторого числа дней изготавливали одинаковые детали. Сергей Петрович в первый день изготовил $s$ деталей, а Пётр Сергеевич — $p$ деталей, $s$ и $p$ — натуральные числа. Каждый последующий день каждый из мастеров изготавливал на $10$ деталей больше, чем в предыдущий. Всего за эти дни Сергей Петрович изготовил на $2261$ деталь больше, чем Пётр Сергеевич. а) Могло ли это быть за $20$ дней? б) Могло ли это быть за $19$ дней, если Сергей Петрович за все дни изготовил не более $3000$ деталей? в) Какое наибольшее количество деталей мог изготовить Сергей Петрович, если Пётр Сергеевич в последний день изготовил менее $300$ деталей?


а) Каждый день Сергей Петрович изготавливает на (s — p) деталей больше, чем Пётр Сергеевич. Тогда за 20 дней Сергей Петрович изготовил на 20(s — p) деталей больше. Должно выполняться равенство 20(s-p) = 2261, но 2261 нацело не делится на 20. Следовательно, требуемое невозможно.

б) Если Сергей Петрович изготовил не более 3000 деталей, то Пётр Сергеевич не более 739 деталей. За 19 дней Сергей Петрович изготовил бы не менее, чем ${2 + 192}/{2}·19 = 1843$ деталей. Значит, требуемое не возможно.

в) Пусть рабочие делали детали в течение n дней, тогда $n(s — p) = 2261 = 7·17·19$. При этом в последний день Пётр Сергеевич изготовил p + 10(n — 1) деталей, p + 10(n — 1) < 300, 10(n - 1) < 300, n ≤ 60. Значит, n натуральный делитель числа 2261, не превосходящий 60. Таким образом n = 1, n = 7, n = 17 или n = 19. Пусть Пётр Сергеевич за все дни изготовил R деталей, тогда Сергей Петрович (R + 2261). Следовательно, наибольшее возможное количество деталей, изготовленных Сергеем Петровичем, будет при наибольшем количестве деталей, изготовленных Петром Сергеевичем. $R = {2p + 10(n - 1)}/{2}·n$ При каждом фиксированном значении n значение R тем больше, чем больше p, то есть R - наибольшее при p = 309 - 10n и $R = {608 - 10n}/{2}·n = 304n - 5n^2 = (304 - 5n)·n$. При n = 1 R = 299. При n = 7 R = 1883. При n = 17 R = 3723. При n = 19 R = 3971.

Наибольшее число деталей, изготовленных Сергеем Петровичем, равно 3971 + 2261 = 6232.

Ответ: а)нет; б)нет; в)6232