Перейти к содержанию

Решите неравенство log|x+4|(16+14x−2×2)≥2

Решите неравенство $log_{|x+4|}(16 + 14x — 2x^2) ≥ 2$.


$log_{|x+4|}(16 + 14x−2x^2) ≥ 2$.

ОДЗ:

${table 16 + 14x−2x^2 > 0; x + 4≠0; {|x + 4|} ≠ 1;$

${table x^2 −7x−8 < 0; x≠−4; x≠−3; x≠−5;$

${table (x + 1)(x−8) < 0; x≠−4; x≠−3; x≠−5;$

$x ∈ (−1;8)$.

$log_{|x+4|}(16 + 14x−2x^2) ≥ log_{|x+4|}(x + 4)^2$.

$log_{|x+4|}(16 + 14x−2x^2)−log_{|x+4|}(x + 4)^2 ≥ 0$.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак $log_{a}f −log_{a}g$ совпадает со знаком $(a−1)(f −g)$.

2) знак $|f|−|g|$ совпадает со знаком $(f − g)(f + g)$.

Согласно 1: $(|x + 4|−1)(16 + 14x−2x^2 −x^2 −8x−16) ≥ 0, (|x + 4|−1)(−3x^2 + 6x) ≥ 0$.

Разделим обе части неравенства на $−3$.

$(|x + 4|−1)(x^2 −2x) ≤ 0$.

Согласно 2: $(x + 4−1)(x + 4 + 1)x(x−2) ≤ 0, x(x + 3)(x + 5)(x−2) ≤ 0$.

$−5 ≤ x ≤ −3, 0 ≤ x ≤ 2$.

Учитывая ОДЗ, получим:

$0 ≤ x ≤ 2$.

Ответ: $[0;2]$