Перейти к содержанию

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 30 и меньше 80

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $30$ и меньше $80$. а) Может ли на доске быть $4$ числа? б) Может ли на доске быть $5$ чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их три?


а) Да, например, на доске может быть написано 6, 7, 8, 9.

б) Заметим, что среди написанных чисел только одно число может быть больше 8, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, больших 8, больше 80. Аналогично, среди написанных чисел только одно число может быть меньше 7, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, меньших 7, не больше 30. Таким образом, помимо наибольшего и наименьшего чисел, на доске могут быть написаны только числа 7 или 8. Следовательно, на доске не может быть более четырёх чисел.

в) Пусть на доске написаны числа $a_1 , a_2 , a_3$, причём $a_1 < a_2 < a_3$. Тогда для выполнения условий задачи достаточно, чтобы выполнялись неравенства $a_1 · a_2 > 30, a_2 · a_3 < 80$.

В пункте «б» было доказано, что $a_2 = 7$ или $a_2 = 8$.

Разберём возможные случаи. Если $a_2 = 7$, то $7a_1 > 30, 7a_3 < 80$, откуда $a_1 = 5$ или $a_1 = 6, 8 ≤ a_3 ≤ 11$. В этом случае наибольшее значение достигается при $a_1 = 6, a_3 = 11$, равно $6 + 7 + 11 = 24$.

Если $a_2 = 8$, то $8a_1 > 30, 8a_3 < 80$, откуда $4 ≤ a_1 ≤ 7, a_3 = 9$.

В этом случае наибольшее значение при $a_1 = 7$ равно $7 + 8 + 9 = 24$.

Таким образом наибольшее значение суммы равно $24$.

Ответ: а)да, б)нет, в)24