Перейти к содержанию

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x2+ax+4=√20×2+8ax+16 имеет ровно три различных корня

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $x^2 + ax + 4 = √{20x^2 + 8ax + 16}$ имеет ровно три различных корня.


Уравнение $x^2 + ax + 4 = √{20x^2 + 8ax + 16}$ при $x^2 + ax + 4 <0$ не имеет корней. При $x^2+ax+4≥0$ (1) можно обе части уравнения возвести в квадрат.

$(x^2 + ax + 4)^2 = 20x^2 + 8ax + 16$,

$x^4 +ax^3+4x^2+ax^3+a^2x^2 +4ax+4x^2+4ax+16 = 20x^2+8ax+16$,

$x^4 + 2ax^3 + x^2(a^2 — 12) = 0$,

$x^2(x^2 + 2ax + a^2 — 12) = 0$,

$x^2((x + a)^2 — 12) = 0$,

$x_1 = 0, (x + a — √{12})(x + a + √{12}) = 0$,

$x_2 = -a + √{12}, x_3 = -a — √{12}$.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо выполнение условия (1) для чисел $x_1, x_2, x_3$ и выполнение условия, что эти числа различны.

$x_2≠ 0$ и $x_3≠0$, если $a ≠√{12} = 2√3$ и $a ≠-√{12} = -2√3$.

Обозначим $g(x) = x^2 + ax + 4. g(x_1) = g(0) = 4 > 0$. Числа $x_2 = -a + √{12}$ и $x_3 = -a — √{12}$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

${tableg(x_2) ≥ 0; g(x_3) ≥ 0;$ ${table(-a + √{12})^2 + a(-a + √{12}) + 4 ≥ 0; (-a — √{12})^2 + a(-a — √{12}) + 4 ≥ 0;$

${table-a√{12}+16 ≥ 0; a√{12}+16 ≥ 0;$ ${tablea≤{8}/{√3}; a≥-{8}/{√3};$

Таким образом, $a∈[-{8}/{√3}; -2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{8}/{√3}]$

Ответ: $[-{8}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{8}/{√3}]$