Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение ${x^2+ax+2}/{2}=√{4x^2+ax+1}$ имеет ровно три различных корня.
Уравнение ${x^2 + ax + 2}/{2} = √{4x^2 + ax + 1}$ при ${x^2 + ax + 2}/{2} < 0$ не имеет корней. При $x^2 + ax + 2 ≥ 0$ обе части уравнения можно возвести в квадрат.
$(x^2 + ax + 2)^2 = 4(4x^2 + ax + 1)$,
$x^4 + ax3^ + 2x^2 + ax^3 + a^2x^2 + 2ax + 2x^2 + 2ax + 4 = 16x^2 + 4ax + 4$,
$x^4 + 2ax^3 + x^2(a^2 — 12) = 0$,
$x^2(x^2 + 2ax + a^2 — 12) = 0$,
$x^2((x + a)^2 — 12) = 0$,
$x_1 = 0, (x + a — √{12})(x + a + √{12}) = 0$,
$x_2 = -a + √{12}, x_3 = -a — √{12}$.
Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа $x_1, x_2, x_3$ были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие $x^2+ax+2 ≥ 0$.
$x_2≠0$ и $x_3≠0$, если $a≠√{12}=2√3$ и $a≠-√{12} = -2√3$.
Обозначим $g(x) = x^2 + ax + 2. g(0) = 2 > 0$. Числа $x_2 = -a + 2√3$ и $x_3 = -a — 2√3$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:
${tableg(x_2) ≥ 0; g(x_3) ≥ 0;$ ${table(-a + 2√3)^2 + a(-a + 2√3) + 2 ≥ 0; (-a — 2√3)^2 + a(-a — 2√3) + 2 ≥ 0;$
${table-2a√3 + 14 ≥ 0; 2a√3 + 14 ≥ 0;$ ${tablea≤{7}/{√3}; a≥-{7}/{√3};$
Таким образом, $a∊[-{7}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{7}/{√3}]$.
Ответ: $[-{7}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{7}/{√3}]$