Найдите все значения $a$, при которых система уравнений
${table(x-3)^2=(y-1)^2; (x-a)^2+(y-1)^2=3a^2-8a+9;$
имеет ровно три решения.
Уравнение $(x — 3)^2 = (y — 1)^2$ равносильно совокупности двух уравнений
$[table x-3=y-1; x-3=-y+1;$ $[table y=x-2; y=-x+4;$
Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $y = x — 2$ и $y = -x + 4$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(3; 1)$, так как система ${table y = x — 2; y = -x + 4;$ имеет единственное решение $(3; 1)$.
При каждом значении $a$ множеством решений второго уравнения системы $(x — a)^2 + (y — 1)^2 = 3a^2 — 8a + 9$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(a; 1)$, лежащей на прямой $y = 1$, и радиусом $√{3a^2 — 8a + 9}$ (заметим, что $3a^2 — 8a + 9 > 0$ для любого $a$).
Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.
В таком случае точка $(3; 1)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(3 — a)^2 + (1 — 1)^2 = 3a^2 — 8a + 9$.
Отсюда получаем: $9 — 6a + a^2 = 3a^2 — 8a + 9; 2a^2 — 2a = 0; 2a ·(a — 1) = 0; a = 0$ или $a = 1$.
Ответ: $0;1$