Найдите все значения $a$, при которых система уравнений
${table(x+1)^2=(y-2)^2; (x+1)^2+(y-a)^2=3a^2-2a+4;$
имеет ровно три решения.
Уравнение $(x + 1)^2 = (y — 2)^2$ равносильно совокупности двух уравнений
$[table x+1=y-2; x+1=-y+2;$ $[table y=x+3; y=-x+1;$
Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $y = x + 3$ и $y = -x + 1$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(-1; 2)$, так как система ${table y = x + 3; y = -x + 1;$ имеет единственное решение $(-1; 2)$.
При каждом значении $a$ множеством решений второго уравнения системы $(x +1)^2 + (y — a)^2 = 3a^2 — 2a + 4$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(-1; a)$, лежащей на прямой $x = -1$, и радиусом $√{3a^2 — 2a + 4}$ (заметим, что $3a^2 — 2a + 4 > 0$ для любого $a$).
Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.
В таком случае точка $(-1; 2)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(-1 + 1)^2 + (2 — a)^2 = 3a^2 — 2a + 4$.
Отсюда получаем: $4 — 4a + a^2 = 3a^2 — 2a + 4; 2a^2 + 2a = 0; 2a ·(a + 1) = 0; a = 0$ или $a = -1$.
Ответ: $-1:0$