Найдите все значения a, при которых система уравнений {y=√−5−6x−x2y−ax=2−3a имеет ровно два решения

Построим график уравнения $y = √{-5 — 6x — x^2}$,

Преобразовав подкоренное выражение, получим $y = √{4 — (x^2 + 6x + 9)}, y = √{2^2 — (x + 3)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 2^2 — (x + 3)^2, (x + 3)^2 + y^2 = 2^2$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность с центром в точке $(-3; 0)$ радиусом $2$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y-ax = 2-3a$ запишем в виде $y = a(x-3)+2$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $a$, проходящих через точку $M (3; 2)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если $a_1 < a ≤ a_2$. Прямая $BM$ касается окружности и является горизонтальной, поэтому её угловой коэффициент равен $0$, значит, $a_1 = 0$. Найдём $a_2$ из условия, что прямая $AM$ $y = a(x - 3) + 2$ проходит через точку $A(-5; 0)$.

$a(-5 — 3) + 2 = 0, a = {1}/{4}$, значит, $a_2 = {1}/{4}$.

Следовательно, система имеет ровно два решения при $0 < a ≤ {1}/{4}$.

Ответ: $(0;{1}/{4}]$