Первого августа был взят кредит в банке на сумму $100650$ рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:
— в конце декабря каждого года долг возрастает на $20%$ по сравнению с долгом на первое августа;
— с первого января по $31$ июля каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят: «на четыре года равными платежами с $20$ процентами годовых»).
Чему будет равна в рублях общая сумма выплат после полного погашения кредита?
1. В конце декабря первого года долг возрастёт на $20%$ и станет равным $100650⋅ 1{,}2$. Пусть $x$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу августа второго года долг станет равным $100650⋅ 1{,}2-x$ рублей. В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $20%$ и с января по конец июля третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей. Первого августа третьего года долг составит $(100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x$. Аналогично рассуждая, получим, что долг на $1$ августа пятого года будет равен $(((100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение: $(((100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x=0$; $100650⋅ (1{,}2)^4-x((1{,}2)^3+(1{,}2)^2+1{,}2+1)=0$; $x={100650⋅ (1{,}2)^4} / {(1{,}2)^3+(1{,}2)^2+1{,}2+1}$. Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем: $x={100650⋅ (1{,}2)^4} / {{(1{,}2)^4-1} / {1{,}2-1}}={100650⋅ (1{,}2)^4⋅0{,}2} / {(1{,}2)^4-1}$. Заметим, что $1{,}2={6} / {5}$, а $0{,}2={1} / {5}$, поэтому
$x={100650⋅ (1{,}2)^4⋅0{,}2} / {(1{,}2)^4-1}={100650⋅ 6^4⋅5^4} / {5^4⋅5⋅(6^4-5^4)}={100650⋅ 1296} / {5⋅(1296-625)}$; $x={100650⋅ 1296} / {5⋅671}=30⋅1296=38880$. Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4⋅ 38880=155520$ рублей.
Ответ: 155.520