В октябре $2016$ года решили взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $8%$ по сравнению с долгом в октябре;
— с февраля по $30$ сентября каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат больше суммы взятого кредита на $8324$ рубля.
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2020 года долг возрастёт на 8% и станет равным $K·1.08$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу сентября 2020 года долг станет равным $K·1.08-x$ рублей.
В январе 2021 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2021 года будет внесён платеж в x рублей. В октябре 2021 года долг составит $(K·1.08 — x)·1.08 — x$ рублей.
Наконец, в январе 2022 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2022 года будет внесён платеж в x рублей. Первого октября 2022 года долг составит $((K·1.08-x)·1.08-x)1.08-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.08 — x)·1.08 — x)1.08 — x = 0$;
$1.08^3K — 1.08^2·x — 1.08x — x = 0$.
$x = {K·(1.08)^3}/{(1.08)^2 + 1.08 + 1}$.
Заметим, что $1.08 = {27}/{25}$, поэтому $x = {K·(27)^3}/{25·((27)^2 + 25·27 + (25)^2)} = {K·19 683}/{25·2029}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·19 683}/{50 725} = {K·59 049}/{50 725}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·59 049}/{50 725} = K + 8324$;
${K·(59 049- 50 725)}/{50 725} = 8324; {K·8324}/{50 725} = 8324$;
$K = 50 725$
Ответ: 50.725